PEMBAHASAN SOAL KOMPETISI MATEMATIKA
PASIAD SE INDONESIA IV
TINGKAT SMP SOAL A
PILIHAN GANDA 50 BUTIR
Walaupun soal ini beberapa tahun yang lalu tetapi baru sempat Penulis postingkan saat ini yang mudah-mudahan dapat menambah wawasan siswa SMP saat ini yang gemar matematika sehingga sedikit terinspirasi dalam menjawab soal-soal Kompetisi Matematika lainnya . Pembahasan ini menurut cara Penulis sendiri yang diperuntukkan untuk siswa intern dan mungkin juga bagi yang memerlukan tetapi tentunya yang lebih legal pembahasan dari pembuat soal PASIAD sendiri.
Soal-soal PASIAD ini memuat materi Matematika tentang : Operasi pada Bilangan Bulat, Pecahan, Operasi Bentuk Aljabar, Fungsi Linear,Persamaan Eksponen, teori bilangan, pertidaksamaan, SPLDV, SPLTV, Geometri Bidang, dan Deret Bilangan.
Soal ini menarik untuk dibahas karena menuntut Peserta Kompetisi untuk terampil menganalisa soal yang diujikan, menentukan strategi pemecahan soal dan menguji keterampilan memanipulasi bentuk-bentuk aljabar. Dengan demikian penguasaan Aljabar sangat dituntut untuk dapat menjawab soal ini dengan tepat, dan singkat waktu. Penulis sarankan kepada peserta, dalam waktu 1 s.d. 2 menit untuk dapat menganalisa soal terlebih dahulu kemudian menentukan strategi pemecahannya sehingga rata-rata soal ini dapat diselesaikan dalam waktu 3 menit.
Soal ini secara utuh berbentuk Pilihan Ganda akan tetapi Penulis sajikan tanpa pilihan jawaban, agar siswa terampil mengerjakan soal bentuk uraian.
Berikut Soal 1 – 30 dari 50 Butir Soal. Selamat Mencoba Berlatih .
- Diketahui himpunan A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } dengan operasi * didefinisikan dengan tabel berikut :
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 | 0 |
| 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 | 0 |
| 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Hitunglah 
?
? Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu! Kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
Tabel di atas merupakan hasil operasi * , yang mana operasi * tersebut merupakan operasi sisa pembagian dengan 5 , atau (Modulo 5)
Dari tabel di atas diperoleh data :
Perhatikan, tiap-tiap sesudah 4 langkah perpangkatan hasilnya kembali berulang sama dengan semula.
1999 : 4 = 499 bersisa 3, sehingga hasil dari 
Cara II : secara Aljabar
2. Operasi β didefinisikan sbb:
Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu! Kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
Perhatikan bahwa, operasi β merupakan operasi kondisional dengan dua rumus dan syarat tertentu.
3. 
Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu! Kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
Dari data soal tsb dapat disimpulkan bahwa :
Substitusi x = 2 ke ……………..(1) diperoleh :
4. Diketahui grafik y = f(x) . Hitunglah f(-6) + f(8) !
Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu! Kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
Tentukan persamaan fungsi y = f(x) !
Sehingga 
5. Jika f(2x – 3) = 4x + 5 , maka f(x) = ….?
Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu! Kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
Pada prinsipnya kita harus mengganti (mensubstitusi) variabel x dengan bentuk tertentu sehingga , 2x – 3 bernilai x. Bentuk tertentu itu adalah invers dari 2x – 3.
6. a , b, c adalah bilangan Asli. a . b = 72 dan b.c = 99.
Hitunglah nilai minimum untuk hasil penjumlahan a + b + c !
Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu! Kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
Persamaan (1) bagi persamaan(2) diperoleh :
Diperoleh nilai a = 8, b = 9, dan c = 11, sehingga nilai minimum a + b + c = 8 + 9 + 11 = 28
Dengan cara Coba-coba (try and error)
Kita ketahui bilangan a dan b adalah sepasang faktor dari 72 , yaitu :
1 dan 72 , 2 dan 36, 3 dan 24, 4 dan 18 , 6 dan 12 , 8 dan 9.
Dari sepasang faktor tsb yang jumlahnya paling kecil/ minimum adalah 8 dan 9.
Jika a= 9 , dan b = 8 maka c bukan bilangan Asli. jadi haruslah a = 8 , b = 9, diperoleh c = 11.
Sehingga nilai minimum a + b + c = 8 + 9 + 11 = 28 OK. Lanjut !
7. a , b, c adalah bilangan Prima. c = 17 (b – a).
Hitunglah a + b + c = …. ?
Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu! Kemudian lihat pembahasannya.
Jawab:
c = 17 (b – a).
Karena a , b, c adalah bilangan Prima, maka nilai c = 17 , dan nilai b – a = 1 dipenuhi untuk
a = 2 dan b = 3. Sehingga a + b + c = 2 + 3 + 17 = 22.
8. x , y , z adalah bilangan Asli genap berurutan dan x < y < z .
Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu! Kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
Karena x , y , z adalah bilangan Asli genap berurutan dan x < y < z , kita tulis :
x = 2n , y = 2n + 2 , dan z = 2n + 4 , dengan n anggota bilangan Asli, sehingga :
9. 
Ada berapa bilangan 3 digit bac yang dapat disusun sesuai kondisi yang telah ditentukan !
Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu! Kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
:idea: Karena bilangan bac bilangan 3 digit dan a < b, maka a adalah bilangan kuadrat dari c yang kurang
dari 9. Jadi bilangan a yang mungkin hanya 1 atau 4.
Untuk a = 1 , maka c = 1 , dan b = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sebanyak 8 susunan.
Untuk a = 4 , maka c = 2 , dan b = 5, 6, 7, 8, 9 sebanyak 5 susunan.
Jadi banyaknya bilangan 3 digit bac yang dapat disusun sebanyak 8 + 5 = 13 susunan.
10. 
Kerjakan dulu ! kemudian bandingkan jawaban anda dengan pembahasannya.
Jawab :
dari pilihan jawaban yang tersedia.11. Diketahui 0< x < 1 , dan 
Kerjakan dulu ! kemudian bandingkan jawaban anda dengan pembahasannya.
Jawab :
Karena x bilangan pecahan kurang dari 1, maka urutan yang benar adalah c < a < b .
12. 
64 faktor 4 suku
Hitunglah nilai x = …..?
Kerjakan dulu ! kemudian bandingkan jawaban anda dengan pembahasannya.
Jawab :
Soal ini termasuk persamaan Eksponen.
:idea: Uraikan bentuk ruas kiri dan ruas kanan sehingga bilangan yang dipangkatkannya sama !
13. Berapa digit bilangan hasil operasi dari 
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian bandingkan dengan pembahasannya.
Jawab :
Soal ini menanyakan banyaknya digit (angka) dari bilangan hasil operasi tersebut tanpa harus
dieksekusi hingga tuntas.
Soal ini merupakan salah satu arti bentuk penulisan bilangan dalam bentuk baku (penulisan ilmiah).
Dalam sistem desimal (bilangan basis sepuluh), nilai n+1 sebagai pangkat dari 10 menentukan
banyaknya digit suatu bilangan.
Uraikan bilangan tersebut menjadi bilangan pangkat n dari 10.
Karena 
hanya bilangan penambah, maka banyaknya digit bilangan itu adalah 12 + 1 = 13
hanya bilangan penambah, maka banyaknya digit bilangan itu adalah 12 + 1 = 1314. 
Kerjakan dulu ! kemudian bandingkan jawaban anda dengan pembahasannya.
Jawab :
Ini soal persamaan eksponen, ruas kiri sama dengan ruas kanan jika dan hanya jika:
Substitusi x = 3 – y ke persamaan (1) diperoleh :
3(3 – y ) + 5 y – 11 = 0
9 – 3 y + 5 y = 11
2y = 11 – 9 = 2
Y = 1
15. Soal mudah
16. Diketahui : K + L + M =34
Kerjakan dulu ! kemudian bandingkan jawaban anda dengan pembahasannya.
Jawab :
17. Diketahui M = 6245 . 
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian cocokan dengan pembahasannya.
Jawab :
Lakukan pembagian 6245 dengan 11, diperoleh 6245 : 11 = 567 sisa 8. Maka (6245 x 6244) dibagi 11 sisanya 8 x 7 = 56, sedangkan 56 : 11 = 5 sisa 1.
Jadi, (6245 x 6244) dibagi 11 sisanya 1.
Cara II :
Bagaimana jika bilangan yang dibagi cukup besar ?
Kita gunakan metoda sisa pembagian suatu bilangan dengan 11 sebagai berikut:
“Jumlah angka-angka pada tempat urutan ganjil (dihitung dari tanda desimal) dikurangi jumlah angka-angka pada tempat urutan genap”
Jumlah angka-angka pada tempat urutan ganjil = 5 + 2 = 7 , sedangkan
Jumlah angka-angka pada tempat urutan genap = 4 + 6 = 10. Sehingga 7 – 10 =-3.
Karena hasil pengurangan -3, berarti sisa 6245 dibagi 11 adalah 11 – 3 = 8
Maka (6245 x 6244) dibagi 11 sisanya 8 x 7 = 56, sedangkan 56 : 11 = 5 sisa 1.
Jadi, (6245 x 6244) dibagi 11 sisanya 1.
18 Suatu bilangan Asli terdiri dari 3 digit. Jika dibagi 3 atau 4 atau 5 sisanya selalu 2.
Berapa hasil penjumlahan angka-angka dari bilangan tersebut, jika bilangan tersebut adalah
bilangan terkecil ?
Sebaiknya coba anda kerjakan dulu ! kemudian bandingkan dengan pembahasannya.
Jawab :
Ini soal penerapan konsep Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). KPK dari 3, 4, dan 5 adalah 60.
Misalkan bilangan tersebut adalah N.
Karena dibagi 3, 4, dan 5 sisanya selalu 2, maka bilangan itu dapat dinyatakan sebagai ;
N = k.60 + 2 , dengan k angggota bilangan bulat.
Karena bilangan N merupakan bilangan 3 digit(ratusan) terkecil, maka nilai k yang memenuhi yaitu
k = 2 , Sehingga diperoleh N = 2 . 60 + 2 = 122
Sehingga jumlah angka-angkanya; 1 + 2 + 2 = 5
19. Tentukan nilai x untuk nilai y terkecil yang memenuhi persamaan 
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian cocokan dengan pembahasannya.
Jawab :
! dibaca faktorial. Didefinisikan 1 ! = 1 , dan 0 ! = 1 secara umum :
n ! = n x (n –1) x (n –2) x (n –3)x … x 4 x 3 x 2 x 1 .
Tampak bahwa 48 ! mempunyai sebanyak 10 faktor 5, sehingga nilai y terkecil dicapai jika nilai
Nilai x maksimum (paling besar) yang memenuhi adalah 10.
20. 
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian bandingkan dengan pembahasannya.
Jawab :
Ini soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Perhatikan bentuknya simestris.
Eliminasi z
Persamaan (1) dikurangi persamaan (3) diperoleh ;
Persamaan (2) ditambah persamaan (4) diperoleh ;
21. 
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian bandingkan dengan pembahasannya.
Jawab :
Ini Soal SPLDV
Dari persamaan (1) dan (2) disimpulkan bahwa :
22. 
Kran A dapat mengisi duapertiga isi bak air dalam waktu 2 jam.
Sedangkan Kran B dapat mengosongkan sepertiga isi Bak air dalam waktu 3 jam.
Seperti tampak pada gambar .
Berapa waktu yang diperlukan untuk mengisi Bak air sampai penuh dari kondisi kosong ?
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian bandingkan dengan pembahasannya.
Jawab :
Misalkan Volum Bak air : V
Diketahui : 
Misalkan waktu yang diperlukan untuk mengisi penuh bak air dari batas kran B adalah t jam , maka diperoleh persamaan :
Jadi, waktu yang diperlukan untuk mengisi Bak air sampai penuh dari kondisi kosong adalah 2 + 1,5 = 3,5 jam.
23. 
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
Perhatikan penyebutnya terpola berurutan. Ubahlah bentuk soal tersebut menjadi bentuk pengurangan pecahan sbb :
24. 
Nilai maksimum x + y + z=…?
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
Sehingga nilai x , y, dan z dapat ditulis :
x = 5k , y = 15k , dan z = 6k , dengan k bilangan bulat Negatif.
x + y + z = 5k + 15k + 6k = 26k. Nilai maksimum x + y + z dicapai untuk k= – 1, sehingga diperoleh
nilai maksimum - 26.
25. Soal Pecahan mudah
26. 
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya.
Jawab :
Karena nilai y yang ditanyakan, nyatakan secara eksplisit nilai x dan z dalam y!
27. 
Jawab:
Jadi , 4 adalah bilangan Rasional, sedangkan 
Berikut nilai phi hingga 40 angka ketelitian.
28. 
Jawab:
Karena 
Dari pertidaksamaan (1) dan (2), diperoleh xyz>0
29. 
Tanda untuk bilangan x, y, z adalah ….
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya.
Jawab:
Dari ketiga pertidaksamaan , maka tanda untuk bilangan x,y,z berturut-turut adalah
+ , – , + atau – , + , -
30. 
Sebaiknya coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya.
Jawab:
Alhamdulillah, demikian mohon kritik apabila ada yang keliru !
terimakasih
BalasHapus